Axiome – absolut oder definierend?


In der klassischen Logik und Mathematik (zurückgehend auf Aristoteles und Euklid) ist ein Axiom ein unbeweisbarer, in sich einsichtiger, unbestreitbarer Grundsatz, der als Ausgangspunkt für deduktive Systeme dient.

Moderne Grundlagenforschung aber versteht unter einem Axiom jeden beliebigen Satz, der in einem System oder einer Beweisführung als absolute Prämisse verwen­det wird.

Genauer aber gilt:

Man sollte unterscheiden zwischen definierenden Axiomen einerseits und absoluten Axiomen andererseits, denn:

  • Beispiel für ein nur definierendes Axiom ist das Parallelenaxiom Euklidischer Geometrie: Es definiert diese Geometrie (und gilt nicht in Räumen mit z.B. hyperbolischer Geometrie).
     
  • Beispiel eines absoluten Axioms ist der Satz vom Widerspruch (d.h. die Gültigkeit des Prinzips indirekter Beweisführung in der Mathematik).

 
Absolute Axiome sind Grenzen menschlichen Denkens, wohingegen definierende Axiome lediglich Grenzen eines gedanklichen Modells darstellen.

Dies zu berücksichtigen wird wichtig, wo man versucht, über die Grenzen moderner Theoretischer Physik nachzudenken (siehe z.B. Extrapolierende Physik und ihre Kernfrage).

 
Letztendlich sind alle Axiome nur Prämissen, von deren Gültigkeit wir ausgehen. Einige absolut zu nennen betont aber, dass wir uns (derzeit wenigstens) zu ihnen keine Alternative vorstellen können: Wir sehen sie als immer und überall gültiges Naturgesetz — ob sie es wirklich sind, bleibt offen.

Selbst wenn wir damit recht haben sollten — und insbesondere dann — können wir uns dessen dennoch niemals sicher sein: Ob nämlich, was Menschen jemals ent­decken oder erahnen können, mehr als nur einen Spezialfall im allumfassenden Kosmos darstellt, ist prinzipiell unentscheidbar (siehe hierzu Brian Greene: The Hidden Reality, Vintage Books, 2011).

 

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